Mondo
di Alessio Brugnoli
Consulente Key Partners
Da almeno vent¿anni, più generazioni di ricercatori hanno provato a verificare l¿applicabilità di teoremi, congetture e lemmi della Teoria del Caos ad Internet. Inizialmente tali analisi, prendendo spunto dalla idee di Benoit Mandelbrot e di Murad S. Taqqu, erano limitate allo sviluppo di modelli di previsione e di aggregazione del traffico dati, al fine di ottimizzare il dimensionamento delle infrastrutture di rete. Esigenza che, con l¿evoluzione della tecnologia e la diminuzione dei costi di investimento, sta diventando di fatto meno pressante.
L¿interesse della ricerca applicata si sta pertanto concentrando su un altro argomento: lo studio delle regole utilizzate dalla Rete delle Reti per sviluppare e modificare la sua topografia. Fenomeno simile al micelio di un fungo. Si tratta di studi, a prima vista più astratti dei procedenti, eppure di enorme impatto pratico, finalizzati,ad esempio, alla comprensione dei meccanismi di congestione della rete, alla diffusione dei virus informatici o ancora all¿elaborazione di algoritmi più efficaci per la ricerca dell¿informazione.
Prima di addentrarsi nella trattazione è necessario chiarire un concetto: l¿infrastruttura fisica, costituita da routers, link ed altri apparati di rete, non deve essere confusa con quella logica, ovvero con i servizi che appaiono all¿utente quando naviga per il Cyber Spazio, siti, blog, mailing list. Le strutture di entrambi i layer, pur sviluppandosi con regole simili, presentano una sostanziale differenza: a livello fisico le reti saranno di tipo funzionale, a livello logico di tipo sociale.
Per comprendere meglio i modelli proposti è necessario introdurre i concetti di:
lunghezza media di un cammino
, la media aritmetica tra le distanze esistenti tra coppie di nodi, dove la distanza consiste nel numero di rami del cammino più breve che li connette;il livello di clustering
, che quantifica il livello di interconnessione esistente tra i nodi presenti. Un valore 0 implica come non esista nessuna connessione, mentre un valore 1 indica una topologia a maglia completa della rete;il grado,
il numero di rami che si attestano su un nodo.
Per il layer fisico, il problema è immediato: dato un insieme di N nodi, i routers, è necessario individuare una modalità per connetterli tra loro. Dato lo sviluppo non pianificato di Internet, si può ipotizzare come tale connessioni siano casuali. Inoltre, per ovvi motivi di costo, non genereranno una maglia completa. Ossia il numero dei rami presenti tra i nodi dovrà essere di gran lunga minore della quantità che si avrebbe nel caso che tutti gli N nodi fossero interconnnessi tra loro, valore espresso dalla formula.
Il primo modello utilizzato per descrivere e simulare le regole di sviluppo dell¿infrastruttura fisica sui si basa Internet fu implementato basandosi sulle ricerche di due matematici ungheresi: Paul Erdös and Alfred Rényi. Senza ricorrere ad eccessivi formalismi matematici, l¿ipotesi di base era che la probabilità che due nodi fossero connessi seguisse una distribuzione di tipo poissoniano.
La rete descritta da tale tipologia di grafo può scherzosamente essere definita “democratica”. I suoi nodi godono infatti delle seguenti proprietà:
il grado di un singolo nodo è una costante. In termini pratici, ogni router ha un uguale numero di link;
ogni nodo è indistinguibile dagli altri.
Un modello semplice ed efficace, con un unico e sottile difetto: le sue proprietà contrastano con quanto suggerito dall¿esperienza empirica di chi progetta, sviluppa e gestisce quotidianamente reti dati.
Nel 1999, i tre fratelli Faloutsos si dedicarono ad analizzare i dati raccolti in “Internet Mapping Project” di William R. Cheswick, Hal Burch e Steve Branigan dei Bell Lab, ovvero i diagrammi, le cosiddette mappe, che rappresentano i diversi percorsi dai pacchetti tra un terminale utente e un generico host Internet, ottenute tramite un utilizzo massivo del trace route.
Le conclusioni furono che la probabilità di connessione tra due nodi della rete Internet seguisse una distribuzione di tipo Power Law il cui andamento è evidenziato, al variare dell¿esponente, in questo grafico.
In particolare, il valore dell¿esponente è stato stimato pari a 2.5. Tale fatto, che riguarda astratte formule matematiche, a prima vista può lasciare indifferenti, ma ad un¿analisi più approfondita permette di spiegare logicamente diverse proprietà del Cyber Spazio.
La prima proprietà di una distribuzione Power Law è facilmente identificabile dal grafico. Incrementando il valore dell¿esponente a , diminuisce l¿estensione della coda delle distribuzione favorendo una aggregazione dei suoi valori intorno al valore 1; in particolare, se l¿esponente tenderà all¿infinito, tale distribuzione degenererà in un impulso di Dirac. L¿esponente a permette una valutazione della dispersione dei valori della distribuzione.
Mentre nella distribuzione poissoniana, per ogni nodo il numero dei rami che vi si attestano è pressoché costante, in una Power Law vi sono soltanto pochi nodi con molti rami; sulla quasi totalità dei router si attestano pochi link. Tale proprietà, per chi applica il modello gerarchico di rete IP, con la sua divisione in tre livelli (Access, Distribution, Core), risulta modellare meglio la realtà empirica. Nell¿immagine seguente è evidenziato un grafo random generato con distribuzione Power Law.
Altra proprietà, deducibile dalla formula della distribuzione, riguarda il principio per cui i momenti di ordine N assumano valore infinito per N > a . Ad esempio, se a < 2 la varianza sarà infinita, mentre, con a < 1, risulterà essere infinito il valore atteso. Negli studi per la modellizzazione delle sorgenti dati, la varianza infinita rendeva inutilizzabile per la loro aggregazione il teorema del limite centrale. Per ovviare a tale difficoltà è stata sviluppata un¿enunciazione più generale, che sostituisce alla funzione gaussiana un¿alfa stabile.
Se tale parametro assume valori prossimi o inferiori ad 1, il sistema gode dalla proprietà LRD (Long Range Dipendence), ossia per essere sintetici, dell¿equivalente dell¿effetto farfalla nella dinamica non lineare: piccole variazioni delle proprietà di un elemento appartenente ad un sistema vengono amplificate dalle sue non linearità sino ad alterarne lo stato globale.
Seppur anche questa proprietà potrebbe apparire poco immediata, è tuttavia interessante osservare come può influenzare il routing dinamico di una rete, nonostante i vari meccanismi di salvaguardia, il down o la congestione di un link preferenziale nell¿inoltro dei pacchetti.
Connessa alla procedente, è la proprietà di autosomiglianza o di scale free, definibile come la proprietà del sistema di avere un comportamento indipendente dall¿intervallo di osservazione. Nel nostro caso, le caratteristiche topologiche di una rete non sono influenzate dal numero di router che ne fanno parte. In battuta, si può affermare che questa è la dimostrazione logica dell¿utilità degli ambienti di test.
E proprio la proprietà scale free garantisce la robustezza di Internet a guasti casuali. Reuven Cohen dell”Università di Bar-Ilan (Israele) e Duncan Callaway della Cornell University hanno dimostrato matematicamente che la frazione critica, ossia la percentuale di router che si devono guastare affinché la funzionalità della rete sia completamente compromessa, è pari ad 80% per Power Law con esponente a < 3.
Tuttavia, proprio per le caratteristiche che la rendono intrinsecamente gerarchica, a sua volta tale rete risulta essere particolarmente sensibile ad attacchi mirati all¿eliminazione degli hub, i pochi nodi con elevato numero di connessioni. Da un certo punto di vista, chi ideò Arpanet non ha pienamente raggiunto i suoi scopi.
Recentemente, Romualdo Pastor-Satorras dell¿ Universitat Politecnica de Catalunya in Barcelona e Alessandro Vespigniani del Centro internazionale di fisica teorica di Trieste hanno evidenziato inoltre come l¿esistenza della proprietà scale free favorisca la diffusione dei virus informatici.
Per decadi, nello studio della propagazione dei virus informatici si è utilizzato un approccio epidemiologico, ossia ispirato alla propagazione delle epidemie nell¿Uomo. In Natura, quando si immunizza una certa frazione della popolazione, l¿incidenza di una malattia cala bruscamente: la popolazione del virus scende al di sotto della soglia epidemica, favorendo il debellamento della malattia.
Tale assunto si è dimostrato inefficace nel caso informatico, caratterizzato infatti dall¿estrema longevità delle infezioni. Pastor-Satorras e Vespigniani hanno dimostrato che per reti scale free, la soglia epidemica è pari a 0. In termini pratici, per quanto possa essere pervasiva la diffusione degli antivirus, il virus informativo riesce tuttavia a sopravvivere in uno stato endemico infettando un piccolo numero di nodi poco connessi. Non solo, esiste anche la possibilità che da qui il virus si propaghi a tutto il sistema.
A titolo di curiosità è interessante sottolineare che un meccanismo analogo è stato riscontrato nella diffusione delle malattie sessuali, come l¿AIDS.
Altra proprietà dei grafi random associati a Power Law è la loro struttura a Small World, caratterizzata dalle seguenti proprietà:
la lunghezza media di un cammino
dipende logaritmicamente dal numero di nodi: al loro aumentare, il suo valore cresce lentamente;icoefficiente di clustering
assume valore 0 per valori di N tendenti all¿infinito.
Le ricerche compiute nei laboratori IBM hanno inoltre verificato che la rete Internet risponde pienamente a tali proprietà. In particolare:
la lunghezza media di un cammino
cresce secondo la formula d = 0.35 + 2.06 log(N). Attualmente il valore di d stimato è pari a 9, ossia per connettere due generici host sono necessari in media 9 hope;il coefficiente di clustering
decresce secondo la formula C » N0.75
Una spiegazione empirica di questa organizzazione “aristocratica” è legata alla struttura stessa di Internet, connessione tra reti di diverso tipo e natura, tutte utilizzanti i protocolli appartenenti alla suite TCP/IP.
Fino a questo punto, sono state sottoposte a verifica le proprietà statiche di Internet. La rete delle reti, però, è in continua evoluzione: ad ogni istante si aggiungono nuovi link che ne alterano la topologia. Alla luce di tale dinamismo, è possibile creare dei modelli di simulazione che rispettino le proprietà legate alla distribuzione Power Law, ossia un¿organizzazione a Small World in cui si riscontri la tendenza di un nodo a connettersi a quelli già presenti e caratterizzati da un altro numero di link?
Allo stato dell¿arte, esistono due differenti modelli che, tra loro differenti per le premesse teoriche, implementati conducono ai medesimi risultati. Il primo, elaborato nell¿Università di Notre Dame da Albert-László Barabási e da Ginestra Bianconi è basato sull¿utilizzo degli stessi principi su cui si basa il modello di condensazione di Bose-Einstein.
Il secondo, sviluppato nell¿Università La Sapienza da Caldarelli, Marchetti e Petronero è basato sull¿utilizzo degli Alberi di Cayley, a cui sono riconducibili gli algoritmi di River Wind che descrivono l¿evoluzione dei bacini fluviali. Nell¿immagine sottostante è evidenziata l¿evoluzione di una rete, basata su algoritmi dipendenti dai due modelli.
Parallelamente alle ricerche sull¿infrastruttura di rete, si sono svolte analisi sui link esistenti nel World Wide Web. Sinteticamente le conclusioni sono le seguenti:
la distribuzione dei link
è anch¿essa di tipo Power Law con a pari a 2.1;la lunghezza media di un cammino
è stata valutata da alcuni ricercatori pari a 19. Secondo altri studi, tale valore è di poco inferiore a 6, rispettando così le previsioni di Stanley Milgram. Tale disparità è legata alle diverse definizioni che sono state date alla lunghezza media di cammino. La definizione standard non può essere applicata, in questo contesto, dato che la presenza di un link tra il sito A e un sito B non implica necessariamente che ne esista un altro tra B ed A;l¿inadeguatezza degli algoritmi
che descrivono l¿evoluzione del layer fisico. Attualmente, il modello più preciso per modellizzare la crescita del World Wide Web è quello Multilayer, sviluppato nell¿Università La Sapienza da Debora Donato, Luigi Laura, Stefano Donati e Stefano Millozzi;La predominanza di link diretti rispetto ai bidirezionali,
che, a differenza dell¿infrastruttura fisica, modellizza il World Wide Web come un grafo orientato, limitandone la porzione esplorabile a circa il 40% del totale. Tale vincolo è topologico, indipendente dallle capacità dell¿uomo e dei migliori motori di ricerca, esistenti o possibili;La possibilità di applicare al World Wide Web
le tesi di Maturana, Morin e Schwartz,descrivendolo come un sistema dotato delle proprietà di autopoiesi e di self organization;
Relativamente ai blog, fenomeno in costante crescita, non sono state ancora compiute ricerche sulla distribuzione statistica dei link. Pertanto, a priori, non si può affermare la validità della distribuzione Power Law, poiché, dai dati ottenuti applicando le tecniche del Social Networking, la lunghezza media di un cammino è stata stimata di poco maggiore di 2 e il coefficiente di clustering pari al 30%. La bloggosfera sembra quindi avere una struttura flat, rispetto a quella a Small World.
I sociologi ipotizzano che tale differenza sia legata a due opposti meccanismi di attribuzione dell¿autorevolezza: nel caso di un sito è di tipo top-down, ovvero legato alla conoscenza e al valore attribuito al brand del titolare. Nei blog, invece, il meccanismo si lega ai contenuti che vi sono presenti.
Dai giorni in cui Eulero, padre della Teoria dei Grafi, discuteva di Königsberg o in cui Pareto rifletteva sulla Curva del Reddito, di acqua ne è passata sotto i ponti.
Teorie matematiche hanno trovato nuovi ambiti applicativi. Ciò che sembrava un puro ed inutile gioco intellettuale addirittura è diventato la chiave interpretativa dello sviluppo di uno dei simboli della contemporaneità.
A fronte di una tale evoluzione, è oltremodo interessante passare dall¿interpretazione teorica all¿azione. I concetti espressi possono essere interessanti, ma se non vengono applicati alla realtà quotidiana, aiutando a migliorare le prestazioni dei motori di ricerca, i meccanismi di gestione della congestione della rete o di monitoraggio delle crisi informatiche, rimangono dei meri formalismi e quindi concretamente inutili.
Tale constatazione si lega al problema, drammatico e ricorrente per l¿Italia, del mancato dialogo tra Università e Azienda; due realtà parallele, che si confrontano con le stesse sfide intellettuali, senza conoscersi e confrontarsi, rischiando mille volte di reinventare la ruota e di perdere importanti e strategiche opportunità di innovazione, crescita e progresso.
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